\chapter{Dielettrici}

\section{Campi elettrici nei mezzi materiali e la costante dielettrica}
%correggere
{\bf DISEGNO CONDENSATORE CARICO}

Consideriamo il caso di un condensatore piano carico e isolato, con
carica $q_0$ distribuita uniformemente con densit\`a di carica
$\sigma_0$ allora il campo elettrico ed il potenziale valgono

\begin{equation}
E_0 = \frac{\sigma_0}{\epsilon_0}
\qquad
V_0 = \frac{q_0}{C_0} = E_0 \, h
\end{equation}
dove la capacit\`a $C_0$ del condensatore piano \`e definita da
\begin{equation}
C = \frac{q}{V}= \frac{\epsilon_0 \Sigma}{h}
\end{equation}

Sperimentalmente si nota che se si riempie il condensatore con un
dielettrico, notiamo che il potenziale diminuisce di un fattore $\kappa$
dato dalla presenza del dielettrico di valore
\begin{equation}
\kappa = \frac{V_0}{V_\kappa} > 1
\end{equation}
detta \emph{costante dielettrica relativa} del dielettrico.

In virt\`u della relazione tra potenziale e campo elettrico, anche
quest'ultimo risulta diminuito:
\begin{equation}
E_\kappa = \frac{V_\kappa}{h}= \dots = \frac{E_0}{\kappa} =
 \frac{\sigma_0}{\kappa \, \epsilon_0}
\end{equation}
e la presenza del dielettrico profoca una variazione del campo elettrico
pari a
\begin{equation}
E_0 - E_\kappa = \frac{\sigma_0}{\epsilon_0} - \frac{\sigma_0}{\kappa \,
 \epsilon_0} = \frac{\kappa -1}{\kappa} \frac{\sigma_0}{\epsilon_0} =
 \frac{\chi}{1 + \chi} \frac{\sigma_0}{\epsilon_0}
\end{equation}
dove si definisce la \emph{sciuscettivit\`a elettrica} del dielettrico
come
\begin{equation}
\chi = \kappa-1
\end{equation}

Nel campo elettrico possiamo ipotizzare che sia presente una densit\`a
di carica ,$\sigma_p$, con cariche opposte al campo, data dalla presenza
del dielettrico di valore
\begin{equation}
\sigma_p = \frac{\kappa - 1}{\kappa}
\end{equation}
cos\`i ottenendo che il campo elettrico all'interno del dielettrico \`e
dato dalla sovrapposizione di due componenti
\begin{equation}
E_\kappa = \frac{\sigma_0}{\epsilon_0} - \frac{\kappa - 1}{\kappa}
 \frac{\sigma_0}{\epsilon_0} = \frac{\sigma_0}{\epsilon_0} -
 \frac{\sigma_p}{\epsilon_0}
\end{equation}
una data dalla distribuzione di carica delle armature, $\sigma_0$, nel
vuoto e da una distribuzione di carica, $\sigma_p$, che immaginiamo
situata sulle facce del dielettrico, con segno opposto a quello alla
distribuzione sulla armatura adiacente.

La capacit\`a del condensatore pieno risulta moditicata di
\begin{equation}
C_\kappa = \frac{q_0}{V_\kappa} = \kappa \frac{q_0}{V_0} = \kappa \, C_0
\label{diel:capac-cond-kappa}
\end{equation}
risultando aumentata del fattore $\kappa$. A questo punto possiamo
definire
\begin{equation}
\epsilon = \kappa \, \epsilon_0
\label{diel:rigidita}
\end{equation}
detta \emph{costante dielettrica assoluta} del dielettrico. Nel
condensarore la capacit\`a (\ref{diel:capac-cond-kappa}) pu\`o essere
ancora vista come
\begin{equation}
C_\kappa = \frac{\kappa \, \epsilon_0 \, \Sigma}{h} = \frac{\epsilon \,
 \Sigma}{h}
\end{equation}
dove, rispetto al caso del condensatore piano vuoto, si \`e utilizzata
la nuova rigidit\`a (\ref{diel:rigidita}).



\section{Polarizzazione dei dielettrici}

Il fenomeno di separazione delle cariche nei conduttori \`e reso
possibile dal fatto che gli stessi hanno un gas di elettroni liberi. Nel
caso dei dielettrici, applicando un campo eletrico esterno, il fenomeno
della polarizzazione \`e dato dallo spostamento degli elettroni liberi
ma da da uno spostamento locale delle cariche.

Se si sottopone un ad un campo elettrico $\vec{E}$ un atomo, il centro
della nube degli elettroni subisce uno spostamento creando un campo di
verso contrario al campo esterno $\vec{E}$. In questa situazione,
prendendo $\vec{x}$ la distanza tra i centri di cariche, il
\emph{momento di dipolo} vale
\begin{equation}
\vec{p}_a = Z \, e \, \vec{x}
\end{equation}
dove $Z$ \`e il numero atomico dell'atomo considerato. L'atomo aquista
un momento di dipolo microscopico $\vec{p}_a$, parallelo e concorde al
campo esterno $\vec{E}$, finc\`e c\`e il campo esterno. Questo fenomeno
viene detto \emph{polarizzazione elettronica}.

A livello marcoscopico si pu\`o calcolare il momento di dipolo medio:
consideriamo un volumetto $\Delta \tau$ contentente $\Delta N$ atomi,
hanno momento di dipolo pari a $\Delta \vec{p}= \Delta N <\!\vec{p}\!>$.
Il momento di dipolo del materiale per unit\`a di volume risulta
\begin{equation}
\vec{P} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta \tau} = \frac{\Delta N}{\Delta
 \tau} <\!\vec{p}\!> = n \, \vec{p}
\label{diel:momento-per-uni-volume}
\end{equation}
dove $n$ \`e il \emph{numero di molecole per unit\`a di volume}. Il
risultato \`e ottenuto dalla media dei singoli momenti di dipolo
microscopici di ogni atomo nel materiale. Il vettore $\vec{P}$ viene
detto \emph{polarizzazione} del dielettrico. Esistono in natura
materiali che possiedono intrisicamente un momento di dipolo senza che
li venga applicato un campo esterno.

Alcuni materiali, detti \emph{dielettrici}, hanno che la polarizzazione,
$\vec{P}$, \`e proporzionale ad $\vec{E}$ tramite la relazione
\begin{equation}
\vec{P} = \epsilon_0 \, (\kappa -1) \, \vec{E} = \epsilon_0 \, \chi \,
 \vec{E}
\label{diel:polarizzazione-lineare}
\end{equation}
I dielettrici che obbediscono a (\ref{diel:polarizzazione-lineare}) di dicono
\emph{dielettrici lineari}.



\section{Campo elettrico del dielettrico polarizzato}

Riprendiamo in considerazione il caso di un condensatore piano caricato
di carica $q_0$ uniformememnte tra cui \`e posta una lastra di un
dielettrico. Il vettore polarizzazione $\vec{P}$ risulta costante su
tutta la superficie delle armature. Considerando il caso infinitesimo
\begin{equation}
d\vec{p} = \vec{P} \, d\tau = P \, \Sigma_0 \, d\vec{h}
\label{diel:momento-infinitesimo}
\end{equation}
dove $d\tau = \Sigma_0 \, d\vec{h}$ \`e il parallelepipedo nel
dielettrico di base $d\Sigma_0$ e altezza $d\vec{h}$.

Ogni parallelepipedo lo si pu\`o immaginare equivalente ad un conduttore
(ma non \`e necessario che sia proprio un conduttore) con una quantit\`a
di carica $+dq_p$ e $-dq_p$ sulla faccia, rispettivamente, ``superiore''
ed inferiore. Prendendo in considerazione tutto il dielettrico insieme
le cariche sulle facce interne al dielettrico dei parallelepipedi
presentano carica eguale ma opposta: all'interno del dielettrico le
singole cariche dei parallelepipedi si annullano tra di loro mentre
sulla superficie esterna \`e presente una distribuzione di
carica. Questa distribuzione \`e dovuta alla polarizzazione del
dielettrico ed \`e pari alla polarizzazione
\begin{equation}
\sigma_p = \vec{P} \cdot \vec{n} = P \, \cos{\theta}
\label{diel:sigma-e-polarizzazione}
\end{equation}
la densit\`a di carica superficiale delle cariche di polarizzazione in
un dielettrico \`e eguale alla componente di $\vec{P}$ lungo la normale
della superfice $\hat{n}$.

Bisogna stare attenti al fatto che queste cariche, a differenza del caso
dei conduttori, non sono libere; esse sono date dalla presenza di un
campo elettrico esterno che causa degli spostamenti microscopici locali
legati agli atomi o alle molecole.

Ne caso di polarizzazione uniforme, all'interno del dielettrico non si
creano cariche, e di conseguenza la carica totale sulla superfice deve
essere nulla
\begin{equation}
\oint \sigma_p \, d\Sigma = \oint \vec{P} \cdot \hat{n} = 0
\label{diel:carica-superficiale}
\end{equation}
dove si intende l'integrale esteso su tutta la superfice del
dielettrico.

Passando ad un livello pi\`u generale, nel caso la polarizzazione non
sia uniforme, non esiste pi\`u la compensazione delle cariche sulla
superfice e l'integrale (\ref{diel:carica-superficiale}) non \`e detto
che sia nullo, ma pu\`o valere un valore $q~\neq~0$. In questa situazione
\`e utile considerare la \emph{densit\`a spaziale di carica} di
polarizzazione
\begin{equation}
\rho_p = \frac{dq_p}{d\tau} = - \vec{\nabla} \cdot \vec{P}
\label{diel:deisita-carica}
\end{equation}

Anche in questa nuova situazione la carica totale, superficiale e
spaziale, si deve compensare
\begin{equation}
\oint \sigma_p \, d\Sigma + \int_\tau \rho_p \, d\tau = 0
\end{equation}
o, riscrivendo
\begin{equation}
\oint \vec{P} \cdot \hat{n} d\Sigma = \int_\tau \vec{\nabla} \cdot
 \vec{P} \, d\tau
\label{diel:carica-tot-diel-gener}
\end{equation}
in quanto non ci pu\`o essere generazione di carica. La formula
(\ref{diel:carica-tot-diel-gener}) precedenti, formalmente coincide con
il teorema della divergenza, dove la compensazione delle cariche \`e
globale, non locale.

Grazie al vettore polarizzazione \`e possibile calcolare il potenziale
in ogni punto $\vec{r}$ interno al condensatore
\begin{equation}
dV(\vec{r}) = \frac{\rho(\vec{r}\,') \, d^3\!r'}{4 \pi \epsilon_0
  \abs{\vec{r} - \vec{r}\,'}} + 
\frac{(\vec{r} - \vec{r}\,') \cdot \vec{P}(\vec{r}\,')}
{4 \pi \epsilon_0 \, \abs{\vec{r} - \vec{r}\,'}^2} \, d^3\!r'
\end{equation}

{\bf {\Large NOTA:} CORREZIONE TERMINE AL QUADRATO INVECE CHE AL CUBO:
domandare al prof. Spiegazione: nella (\ref{diel:momento-infinitesimo})
compare un $dh = d\abs{\vec{r}-\vec{r}\,'}$ allora si semplifica di uno
l'esponente. Giusto? Ho bisogno di una conferma.}

dove si \`e sfruttato la versione infinitesimale dell'approssimazione
del potenziale (\ref{elet:potez-appox}) ricordando
(\ref{diel:momento-infinitesimo}) e sfruttando che $dQ =
\rho(\vec{r}\,') \, d^3\!r'$. Inegrando si ha
\begin{equation}
\begin{split}
V(\vec{r}) &= \int_\tau \frac{d^3\!r'}{4 \pi \epsilon_0}
\left[\frac{\rho(\vec{r}_i)}{\abs{\vec{r} - \vec{r}\,'}} +
\frac{(\vec{r} - \vec{r}\,') \cdot \vec{P}(\vec{r}\,')}
{\abs{\vec{r}-\vec{r}\,'}^3} \right] \\
&= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \oint \frac{\vec{P} \cdot \hat{n}}{r} \,
 d\Sigma - \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_\tau \frac{\vec{\nabla} \cdot
 \vec{P}}{r} \, d\tau
\end{split}
\end{equation}
dove nel secondo passaggio si sono sfruttate le relazioni
(\ref{diel:sigma-e-polarizzazione}) e (\ref{diel:deisita-carica}).



\section{Il vettore induzione dielettrica e equazioni
 dell'elettrostatica}

In presenza di un dielettrico polarizzato continuano a valere le
equalioni usuali dell'elettrostatica
\begin{equation*}
\oint \vec{E} \cdot d\vec{r} = 0 \quad , \quad
\vec{\nabla} \times \vec{E} = 0
\end{equation*}
anche il campo elettrico all'interno di un dielettrico polarizzato
risulta essere solenoidale. Equivalentemente si pu\`o ottenere il campo
elettrico come gradiente del potenziale $\vec{E} = - \nabla V$.

La legge di Gauss deve essere adattata in modo da tenere conto delle
carica di polarizzazione del dielettrico. Si ha che il fusso del campo
elettrico attraverso una superficie chiusa \`e eguale alla somma delle
cariche libere e delle cariche di polarizzazione contenute all'interno
della siperfice. Nella forma integrale si ha
\begin{equation}
\oint \vec{E} \cdot \hat{n} d\Sigma = \frac{q + q_p}{\epsilon_0}
\label{diel:flusso-campo-elettrico-polarizzazione}
\end{equation}
e in forma differenziale
\begin{equation}
\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho + \rho_p}{\epsilon_0}
\end{equation}

A questo punto definiamo il \emph{vettore induzione dielettrica}
\begin{equation}
\vec{D} = \epsilon_0 \, \vec{E} + \vec{P}
\label{diel:vettore-induzione-diel}
\end{equation}
che ha valore generale. Le leggi del campo elettrico si riscrivono
semplicemente
\begin{equation}
\oint \vec{D} \cdot \hat{n} \, d\Sigma = q
\label{diel:legge-d-integrale}
\end{equation}
\begin{equation}
\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho
\label{diel:legge-d-differenziale}
\end{equation}
Il flusso del vettore $\vec{D}$ dipende unicamente dalle cariche libere
contenute nella superficie chiusa, indipendentemente che suddetta
supeficie contenga anche cariche di polarizzazione.

{\bf DISEGNO della superficie che entra in parte nel
dielettrico. $\Sigma_1$ \`e esterna con una carica libera $q_0$ mentre
$\Sigma_2$ \`e interna al dielettrico}

Proviamo a dare una spiegazione di questa propriet\`a nel caso
particolare in cui siano assenti cariche libere. Consideriamo un
dielettrico polarizzato e consideriamo una superficie $\Sigma$ secante
il dielettrico e non contiente cariche libere. Il
flusso, dalla definizione (\ref{elet:flusso-e}), vale
\begin{equation}
\Phi (\vec{E}) = \int_\Sigma \vec{E} \cdot \hat{n} \, d\Sigma
\tag{\ref{elet:flusso-e}}
\end{equation}

Chiamiamo $\Sigma_1$ la parte della supefice $\Sigma$ che contiene il
dielettrico e $\Sigma_2$ la parte che non contiene il dielettrico e
contiene la carica libera $q_0$. In questo caso il flusso
(\ref{elet:flusso-e}), considerando la equazione
(\ref{diel:flusso-campo-elettrico-polarizzazione}), diventa
\begin{equation}
\Phi = \frac{q_0}{\epsilon_0} + \frac{1}{\epsilon_0} \int_{\Sigma_1}
 \sigma_p \, d\Sigma + \frac{1}{\epsilon_0} \int_\tau \rho_p \, d\tau
\label{diel:flusso-dielettrico}
\end{equation}
dove $\sigma_p$ \`e la densit\`a supeficiale e $\rho_p$ \`e la densit\`a
spaziale di polarizzazione. Come precedentemente, sfruttando il teroema
della divergenza e le formule (\ref{diel:sigma-e-polarizzazione}) e
(\ref{diel:deisita-carica}) posso scrivere
\begin{equation}
\frac{1}{\epsilon_0} \int_{\Sigma_1} \sigma_p \, d\Sigma =
\frac{1}{\epsilon_0} \int_{\Sigma_1} \vec{P} \cdot \hat{n} \, d\Sigma
\end{equation}
e
\begin{equation}
\frac{1}{\epsilon_0} \int_{\tau} \rho_p \, d\tau =
- \frac{1}{\epsilon_0} \int_{\tau} \vec{\nabla} \cdot \vec{P} \, d\tau =
- \frac{1}{\epsilon_0} \int_{\Sigma_1 + \Sigma_2} \vec{P} \cdot \hat{n} \, d\Sigma
\end{equation}
e sostituendo le nuove equazioni alla formula del flusso
(\ref{diel:flusso-dielettrico}) i termini si elidono cos\`i ottenendo
che
\begin{equation}
\Phi(\vec{E}) = \frac{q_0}{\epsilon_0} - \frac{1}{\epsilon_0}
 \int_{\Sigma_1} \vec{P} \cdot \hat{n} \, d\Sigma =
\frac{q_0}{\epsilon_0} - \oint_\Sigma \vec{P} \cdot \hat{n} \, d\Sigma
\label{diel:flusso-p}
\end{equation}
dove nell'ultima egualianza si \`e tenuto conto che nella superfice
$\Sigma_2$ il vettore $\vec{P}$ \`e nullo in quanto la superfice non
include il dielettrico.

In conclusione, tramite la definizione del flusso (\ref{elet:flusso-e})
e dell'ugualianza (\ref{diel:flusso-p}), otteniamo
\begin{equation}
\oint_\Sigma (\epsilon_0 \, \vec{E} + \vec{P}) \cdot \hat{n} \, d\Sigma
 = q_0
\end{equation}
che corrisponde alla (\ref{diel:legge-d-integrale}) cvd.

Se consideriamo una nuova situazione in cui $\Sigma$ sia completamente
all'interno del dielettrico, dove la carica \`e tutta di polarizzazione,
i termini $q_0$ e $\sigma_p$ di (\ref{diel:flusso-dielettrico}) sono
nulli e si ha
\begin{equation}
\Phi = \frac{1}{\epsilon_0} \int_\tau \rho_p \, d\tau =
- \frac{1}{\epsilon_0} \int_\tau \vec{\nabla} \cdot \vec{P} \, d\tau =
- \frac{1}{\epsilon_0} \oint \vec{P} \cdot \hat{n} \, d\Sigma = 0
\end{equation}
Cio\'e nello spazio privo di cariche libere, le relazioni
(\ref{diel:legge-d-integrale}) e (\ref{diel:legge-d-differenziale})
diventano
\begin{equation}
\oint \vec{D} \cdot \hat{n} \, d\Sigma = 0 \quad ,
\quad \vec{\nabla} \cdot \vec{D} = 0
\end{equation}
il campo vettoriale $\vec{D}$, in assenza di cariche libere, \`e
solenoidale, ma a differenza del campo $\vec{E}$, non \`e conservativo.



\section{Dipendenza della polarizzazione dal campo elettrico}

Come definito precedentemente, i dielettrici che verificano
\begin{equation}
\vec{P} = \epsilon_0 \, \chi \, \vec{E}
\tag{\ref{diel:polarizzazione-lineare}}
\end{equation}
vengono detti lienari. Avevamo chiamato $\chi = \kappa -1$
sciuscettivit\`a dielettrica del dielettrico. Dalle formule
(\ref{diel:vettore-induzione-diel}) e (\ref{diel:rigidita}) ricaviamo
che
\begin{equation}
\vec{D} = \epsilon_0 \, \vec{E} + \vec{P}= \epsilon_0 \, \kappa \,
 \vec{E} = \epsilon \, \vec{E}
\label{diel:def-induzione-diel}
\end{equation}
e riscrivendo la egualianza (\ref{diel:polarizzazione-lineare}) con la
relazione appena trovata si ha
\begin{equation}
\vec{P} = \frac{\kappa -1}{\kappa} \vec{D} = \frac{\chi}{1 + \chi}
 \vec{D}
\end{equation}
la polazizzazione, l'induzione dielettrica e il campo elettrico sono
 paralleli se si \`e nelle ipotesi di dielettrico lineare.

Adesso vediamo un'altro modo di definire tale costante. Se prendiamo un
sistema di rifermimento tale che $\vec{P}(0)=0$ nell'origine possiamo
sviluppare in serie di Mc-Laurin $\vec{P}(\vec{E})$
\begin{equation}
P_\mu = \sum_{\nu \in \{x,y,z\}} \frac{\partial P_\mu}{\partial E_\nu} E_\nu
\end{equation}
dove $P_\mu$ \`e la coordinata mu-esima di $\vec{P}$, con $\mu \in
\{x,y,z\}$. La sciuscettivit\`a diventa
\begin{equation}
\frac{\partial P_\mu}{\partial E_\nu}\biggr|_{E=0}= \chi_{\mu \nu}
\end{equation}

Scrivendo la matriciona la chiamiamo
%correggere
\begin{equation}
\left( \begin{array}{ccc}
 \frac{\partial P_x}{\partial E_x} &  \frac{\partial P_x}{\partial
  E_y} &  \frac{\partial P_x}{\partial E_z} \\
 \frac{\partial P_y}{\partial E_x} &  \frac{\partial P_y}{\partial
  E_y} &  \frac{\partial P_y}{\partial E_z} \\
 \frac{\partial P_z}{\partial E_x} &  \frac{\partial P_z}{\partial
  E_y} &  \frac{\partial P_z}{\partial E_z} \\
\end{array} \right)
= \epsilon_0 \, \chi
\end{equation}
%correggere
{\bf CONTROLLARE TERMINI DELLA MATRICE!}
Se i campi elettrici sono abbastanza piccoli possiamo considerare il
dielettrico lineare
\begin{equation}
\vec{P}(\vec{E}) = \epsilon_0 \, \chi \, \vec{E} + \Theta(\vec{E}^2)
\end{equation}
in cui l'errore introdotto dallo sviluppo in serie \`e piccolo.

Nel caso in cui si ha
\begin{equation}
\chi = \tilde{\chi}
\left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array} \right)
\end{equation}
di dice che il dielettrico \`e isotropo. Nel caso in cui $\chi$ non
dipende da $\vec{r}$, allora si dice che il dielettrico \`e
omogeneo. Riassumendo esistono i casi:
\begin{description}
\item[lineare] in cui i termini $\chi_{i \, j} = \tilde{\chi} \quad \forall \ i
	       \, j \in \{1,2,3\}$, i termini della matrice sono tutti
	       eguali e, di conseguenza, vale la relazione
	       (\ref{diel:polarizzazione-lineare});
\item[isotropo] in cui i la matrice $\chi$ \'e una matrice identit\`a
	   rispetto a $\tilde{\chi}$;
\item[omogeneo] in cui $\chi$ non dipende dal particolare $\vec{r}$ considerato.
\end{description}

Condizioni di omogeneit\`a e linearit\`a, in assenza di carica libera,
implicano che non ci sia neanche polarizzazione in quanto
\begin{equation}
\rho_p = - \vec{\nabla} \cdot \vec{P} = - \frac{\kappa -1}{\kappa}
 \vec{\nabla} \cdot \vec{D} = - \frac{\kappa -1}{\kappa} \rho = 0
\end{equation}
notando che dalla definizione di $\vec{D}$, (\ref{diel:rigidita}), si
vede facilmente che
\begin{equation}
\vec{P}(\vec{E}) = \frac{\chi}{1 + \chi}\vec{D}= \frac{\kappa
 -1}{\kappa} \vec{D}
\end{equation}
cvd.

\subsection{Esercizio (da sistemare)}
Consideriamo una palla conduttrice carica, su cui voliamo calcolare iul
campo elettrico $\vec{E}(r)$ e la polarizzazione $\vec{P}(r)$.
Se ci mettiamo a distanza $r$ dall'origine troviamo che
\begin{equation}
\vec{\nabla} \cdot \vec{D}= \rho
\end{equation}
o anche che
\begin{equation}
\Phi_S (\vec{D}) = q = 4 \pi r^2 \abs{D}
\end{equation}
e si ricava che
\begin{equation}
\vec{D} = \frac{q}{4 \pi r^2} \hat{r}
\end{equation}

Il campo elettrico vale
\begin{equation}
\vec{E} = \frac{D}{\epsilon} = \frac{q}{4 \pi r^2}
\end{equation}
e possiamo anche scrivere che
\begin{equation}
\vec{P} = \frac{\chi}{1 + \chi} \vec{D}
\end{equation}

Se ci mettiamo a distanza $R^+$ vale che 
\begin{equation}
\vec{E}(R^+) = \frac{q}{4 \pi {R^+}^2} = \frac{\sigma}{\epsilon_0 \kappa}
\end{equation}
ed \`e la stessa cosa che abbiamo visto nel caso del condensatore piano
\begin{equation}
\vec{E}_\kappa= \frac{\vec{E}_0}{\kappa}
\end{equation}

La carica esterna diventa (credo)
\begin{equation}
\sigma_p = \vec{P}(R^+) \cdot \hat{n}= \vec{P}(- \hat{r})
\end{equation}

cio\'e
\begin{equation}
\vec{P}(R^+) = \frac{\chi}{1 + \chi} \frac{\hat{r}}{4 \pi {R^+}^2} q
\end{equation}


l'atra domanda
\begin{equation}
\vec{P}= \frac{\chi}{1+\chi} \frac{\hat{r}}{4 \pi r^2}
\end{equation}
che \`e la stessa cosa di una carica puntiforme, cio\'e non c\'e
densit\`a di carica esterna.


\section{Discontinuit\`a dei campi sulla superfice di separazione tra
 due dielettrici}

Consideriamo due dielettrici polarizzati a contatto con una superfice
$\Sigma$ con costanti dielettriche relative $\kappa_1$ e $\kappa_2$
rispettivamente. Come visto precendentemente, nel caso di
discontinuit\`a del campo elettrico, come nel caso dei due dielettrici
considerati, la componente normale/tangenziale alla superfice rimane
costante
\begin{equation}
E_{1t} = E_{2t}
\tag{\ref{elet:componente-tangenziale}}
\end{equation}
Indichiamo con $\vec{E}_1$, $\vec{P}_1$ e $\vec{D}_1$ il campo
elettrico, la polarizzazione e l'induzione dielettrica del primo
dielettrico, con $\vec{E}_2$, $\vec{P}_2$ e $\vec{D}_2$ del secondo.

{\bf DISEGNO}

Dire che la componente tangenziale rimane costante significa dire che
nel caso dei due dielettrici polarizzati le componenti
\begin{equation}
E_{1t} = \vec{E}_1 \sin{\theta_1}=\vec{E}_2 \sin{\theta_2} = E_{2t}
\label{diel:discontinuita-1}
\end{equation}

Consideriamo una scatoletta cilindrica ortogonale alla supefice $\Sigma$
di separazione dei dielettrici, con $d\Sigma_1$ la base contenuta nel
primo dielettrico, e $d\Sigma_2$ la base contenuta nel
secondo. Prendiamo le aree in modo che l'altezza del lato sia
infinitesima. Sia $\hat{n}_1$ la normale alla superficie della prima
base $d\Sigma_1$ e $\hat{n}_2$ la normale alla superficie della seconda
base $d\Sigma_2$. Risulta che le superfici sono tra loso parallele,
$\hat{n}_1 = - \hat{n}_2$, e hanno area eguale,
$d\Sigma_1=d\Sigma_2$. Nel cilindro non sono presenti cariche libere e
quindi la legge di Gauss per $\vec{D}$ dice che
\begin{equation}
\vec{D}_2 \cdot \hat{n}_2 \, d\Sigma_2 + \vec{D}_1 \cdot \hat{n}_1 \,
 d\Sigma_1 = (D_{2n} - D_{1n}) \, d\Sigma = 0
\end{equation}
cio\`e
\begin{equation}
D_{2n} = D_{1n} \quad \Leftrightarrow \quad
\epsilon_0 \, E_{1n} + P_{1n} = \epsilon_0 \, E_{2n} + P_{2n}
\label{diel:equivalenza-d}
\end{equation}
le componente normale dell'induzione dielettrica rimane invariata nel
passaggio da un dielettrico all'altro. Riscrivendo si trova
\begin{equation}
E_{2n} - E_{1n}= \frac{P_{2n} - P_{1n}}{\epsilon_0} =
\frac{\sigma_{2n} - \sigma_{1n}}{\epsilon_0}
\end{equation}
che \`e il caso particolare di (\ref{elet:discontinuita-e}) con le
componenti del campo $\vec{E}$ normali. Considerando le formula
(\ref{diel:def-induzione-diel}) per ricrivere (\ref{diel:equivalenza-d})
si trova anche che
\begin{equation}
\kappa_1 \, \epsilon_0 \, E_1 \, cos{\theta_1} =
\kappa_2 \, \epsilon_0 \, E_2 \, cos{\theta_2}
\label{diel:discontinuita-2}
\end{equation}
e divdiendo a membro a membro (\ref{diel:discontinuita-1}) e
(\ref{diel:discontinuita-2})
\begin{equation}
\frac{\tan{\theta_2}}{\tan{\theta_1}} = \frac{\kappa_2}{\kappa_1}
\end{equation}

Il cambiamento di direzione delle linee di forza del campo elettrico \`e
una conseguenza sia della discontinuit\`a delle componente normale di
$\vec{E}$ e sia dalla continuit\`a della componente tangenziale. Questo
risultato viene denominato \emph{rifrazione delle linee di forza}: le
linee si allontanano dalla normale $\vec{n}$ se $\kappa_1$ \`e minore di
$\kappa_2$ e si avvicinano nel caso contrario.


\section{Campo elettrico all'interno di una cavit\`a}

In questo paragrafo vogliamo vedere come si comportano i vettori campo
elettrcio $\vec{E}$ ed induzione dielettrica $\vec{D}$ nel caso in cui
ad un dielettrico polarizzato uniformemente con polarizzazione
$\vec{P}$.

Il campo elettrico in un generico punto $\vec{r}$ pu\`o essere pensato
come somma di campi elettrici
\begin{equation}
\vec{E}(\vec{r}) = \vec{E}_c(\vec{r}) + \vec{E}_b(\vec{r}) \qquad
 \forall \vec{r}
\label{diel:sovrapposizione-elettrica}
\end{equation}
intendendo con $\vec{E}_c$ il campo elettrico dovuto alle cariche
esterne di polarizzazione del dielettrico e $\vec{E}_b$ il campo
elettrico dovuto al volume del dielettrico che ``manca'' intorno al
punto $\vec{r}$. Questa assunzione \`e giustificata dal fatto che nel
capo elttrico vale il principio di sovrapposizione. Per trovare il capo
$\vec{E}_c$ basta invertire la formula
(\ref{diel:sovrapposizione-elettrica}), come $\vec{E}_c= \vec{E} -
\vec{E}_b$.

{\bf Inserire disegno simile figura 5.29 MNV FISICA2}

In particolare vogliamo studiare il caso in cui la cavit\`a ha una forma
e dimensione ben precisa nelle due situazioni di
\begin{itemize}
\item cavit\`a cilindrica;
\item cavit\`a sferica.
\end{itemize}

\subsection{Cavit\`a cilindrica}

Siamo nel caso in cui la cavit\`a nel dielettrico ha la forma cilidrica
di raggio $R$ e altezza $h$. Sulle facce del cilindro, nell'ipotesi di
polarizzazione uniforme $\vec{P}$, \`e tutto come fosse che sia presente
una densit\`a di carica, rispettivamete, di $\sigma_+ = + P$ e $\sigma_-
= - P$, in generale $\sigma_\pm = \hat{n} \cdot \vec{P}$ con $\hat{n}$
la normale uscetnte dal cilindro. Da una relazione gia nota, per ogni
punto all'interno della cavit\`a vale la relazione
\begin{equation}
\vec{E}_b(\vec{r}) = \vec{E}_+ + \vec{E}_- = -\frac{\vec{P}}{2 \,
 \epsilon_0} [(1 - \cos{\theta_+}) + (1-\cos{\theta_-})]
\label{diel:e-cavita-cilindrica}
\end{equation}
e al centro ($\ref{diel:e-cavita-cilindrica}$) diventa
\begin{equation}
\vec{E}_b = - \hat{n} \frac{\sigma_P}{\epsilon_0} (1 - \cos{\theta_0}) = -
 \frac{\vec{P}}{\epsilon_0} (1 - \cos{\theta_0})
\label{diel:e-cavita-cilindrica-centro}
\end{equation}
dove l'angolo $\theta_0$ corrisponde
\\ {\bf DISENGNO ANGOLO}
\begin{equation}
\cos{\theta_0} = \frac{\frac{h}{2}}{\sqrt{R^2 + \left( \frac{h}{2}
\right)^2}}
\end{equation}

Nel centro del cilindro, applicando la relazione
(\ref{diel:e-cavita-cilindrica-centro}) in
(\ref{diel:sovrapposizione-elettrica}) ed esplicitando $\vec{E}_c$, si
ha
\begin{equation}
\vec{E}_c = \vec{E} + \frac{\vec{P}}{\epsilon_0} (1 - \cos{\theta_0})
\label{diel:ec-cavita-cilindrica-centro}
\end{equation}

\subsubsection{Cavit\`a piatta, $R>>h$}

Con l'approssimazione $R>>h$ l'angolo $\theta_0$ vale
$\frac{\pi}{2}$. Di conseguenza la relazione
(\ref{diel:ec-cavita-cilindrica-centro}) diventa
\begin{equation}
\vec{E}_c (\vec{r}) = \vec{E} + \frac{\vec{P}}{\epsilon_0} =
\kappa \, \vec{E}
\end{equation}
nel caso in cui il dielettrico sia lineare e valga la relazione
(\ref{diel:polarizzazione-lineare}). In questa situazione, dato che
$\kappa >1$, il campo elettrico nella cavit\`a \`e maggiore che quello
nel dielettrico. L'induzione dieletrica vale
\begin{equation}
\vec{D}_c (\vec{r})= \epsilon_0 \, \vec{E}_c = \epsilon_0 \, \kappa \,
 \vec{E} = \epsilon_0 \,  \vec{E} + \vec{P} = \vec{D}
\end{equation}
il vettore induzione \`e eguale sia nel dielettrico che nella cavit\`a,
come visto nel paragrafo precendente.

\subsubsection{Cavit\`a lunga, $R<<h$}

In questo caso l'angolo $\theta_0$ \`e piccolo e possiamo considerare lo
svluppo in serie del coseno e scrivere
\begin{equation}
\cos{\theta_0} \cong 1 - \frac{\theta_0^2}{2} + \Theta(\theta_0^2)
= 1 - \frac{2 \, R^2}{h^2} + \theta\left(\frac{R^4}{h^4} \right)
\end{equation}
e ignorando i termini di ordine superirore, da
(\ref{diel:polarizzazione-lineare}) e da
(\ref{diel:ec-cavita-cilindrica-centro}) si trova
\begin{equation}
\vec{E}_c = \vec{E} + \frac{2 \, R^2}{\epsilon_0 h^2} \vec{P} = 
\vec{E} \left( 1 + \chi \frac{2 \, R^2}{h^2} \right) \approx \vec{E}
\end{equation}
dove al limite, per $\frac{R}{h}=0$, si ha che il campo elettrico nella
cavit\`a \`e eguale a quello nel dielettrico.



\newpage
\section{DA SISTEMARE}


\subsection{Cavit\`a sferica}

Preambolo:
Vogliamo calocalre il potenziale di un dipolo elettrico. Se il campo \`e
uniforme si ha che il potenziale vale
\begin{equation}
V = - \vec{r} \cdot \vec{E}_0 + \frac{\vec{r} \cdot \vec{P}}{4 \pi
 \epsilon_0 \vec{r}^3} = \vec{r} \cdot \left( \frac{\vec{P}}{4 \pi
 \epsilon_0 \vec{r}^3} - \vec{E}_0 \right)
\end{equation}
nel caso in cui vale $\vec{P}= P \hat{z}$, $\vec{E}_0= E_0 \hat{z}$ si ha
\begin{equation}
V(\vec{r})=  \left( \frac{\vec{P}}{4 \pi \epsilon_0 \vec{r}^3} -
\vec{E}_0 \right) r \cos{\theta} + V_0
\end{equation}

Esiste un $R$ particolare per cui
\begin{equation}
R: V(\vec{r})\big|_{r=R} = V_0
\end{equation}
con
\begin{equation}
R = \left( \frac{\vec{P}}{4 \pi \epsilon_0 E_0}\right)^{\frac{1}{3}}
\end{equation}
cio\'e \`e ina superficie equipotenziale e si ha
\begin{equation}
\vec{E}(\vec{r}) = - \vec{\nabla} V(\vec{r})
\end{equation}
e anche
\begin{equation}
\vec{E}(\vec{r})\big|_{r=R} = - \hat{r} \frac{\partial V}{\partial r} \biggr|_{r=R}
\end{equation}
e vale solo in questo caso particolare. Si ricava allora che
\begin{equation}
\vec{E}(\vec{r})\big|_{r=R} = \hat{r} \cos{\theta} \left[ \frac{ 2 P}{4
\pi \epsilon_0 r^3} + \vec{E}_0 \right] \biggr|_{r=R} = 3 E_0
\cos{\theta} \hat{r}
\end{equation}
campo elettrico sulla superficie sferica di raggio $R$.

Prendiamo una sfera conduttrice di raggio $R$ in mezzo ad un campo
elettrico $E_0$. All'interno il campo \`e nullo e sulla superficie il
campo sar\`a perpendicolare. Fuori dalla sfera deve obbedire alla legge
di Gauss e fuori si ha
\begin{equation}
\vec{\nabla} \cdot \vec{E} =0
\end{equation}
o la stesa cosa
\begin{equation}
\nabla^2 V =0
\end{equation}

se gradiente ortogonale ad una supefice chiusa qualsiasi allora la soluzione \`e
unica. Queste condizioni sono dette \emph{Condizioni al contorno di Von
Neumann}.

Visto che vale il teorema vale allora sappiamo che per $r>R$  il
potenziale \`e nullo, sulla superficie \`e ortogonale alla stessa e
all'interno????

Il campo $E$ di una sfera condittrice scarica di raggio $R$ in un campo
$E_0$ \`e euqivalente ad una sfera che genera il campo $E_0$ pi\`u un
dipolo con
\begin{equation}
P = 4 \pi \epsilon_0 R^3 E_0
\end{equation}

sappiamo che il campo appena fuori la superficie vale
\begin{equation}
\vec{E} = \hat{r} \cdot \frac{\sigma}{\epsilon_0}
\end{equation}
quindi la densit\`a di carica che si genera sulla superficie della sfera
vale
\begin{equation}
\sigma(\theta) = \epsilon_0 \vec{E}(\vec{r}) \big|_{r=R} \cot \hat{r} =
 3 \epsilon_0 E_0 \cos{\theta}
\end{equation}
con valori compresi tra
\begin{equation}
- 3 \epsilon_0 E_0 < \sigma(\theta) < 3 \epsilon_0 E_0
\end{equation}

per il principio di sovrapposizione il capo esterno $E_0$ pi\`u il
campo generato dalla distribuzione della densit\`a di carica sulla
superficie della sfera deve essere nullo. Per cui all'interno si forma un
capo elettrico
\begin{equation}
\vec{E} = \vec{NS} \frac{\sigma_0}{3 \sigma_0}
\end{equation}

fuori come un bipolo, all'iterno il contrario






\newpage
\section{SISTEMARE}



\section{Appunti 29 maggio}

Perso i primi 20 minuti di lezione


il campo all'esterno della sfera vale
\begin{equation}
\vec{E}(\vec{r}) =_{r>R} \vec{E}_0 + 3 \frac{(\vec{P} \cdot \hat{r})
 \hat{r} - \vec{P}}{4 \pi \epsilon_0 r^3}
\end{equation}


Seconda parte:
adesso prendimo il dielettrico e togliamo il cilindro, $\vec{E}_c$ \`e il
campo in presenza della cavit\`a mentre $\vec{E}_b$ \`e il campo della
cavit\`a. Si ha che
\begin{equation}
\vec{E}_c = \vec{E} - \vec{E}_b
\end{equation}
ricordando che $\vec{E}_b = -\frac{\vec{P}}{3 \epsilon_0}$ si ha che il
campo nella cavit\`a risulta
\begin{equation}
\vec{E}_c => \vec{E}  + \frac{\vec{P}}{3 \epsilon_0} = \vec{E} \left( 1
+ \frac{\chi}{3} \right) = \vec{E} \frac{\chi + 2}{3}
\end{equation}


Possiamo riassumere i tre casi che abbiamo visto;
\begin{equation}
\vec{E}_c = \vec{E} + \frac{\gamma \vec{P}}{\epsilon_0}
\end{equation}
dove 
\begin{equation}
\{ \\
\gamma =0 \\
\gamma = 1 \\
\gamma = \frac{1}{3}
\end{equation}
nei 3 casi che non ricordo, forse:
-cilindro orizzontale
-cilindro verticale
-sfera


\subsection{Polarizzazione elettronica di un gas o un liquido}

Supponiamo di essere in presenza di un campo elettrico locale.

Per la legge di gauss deve essere che
cio\'e
\begin{equation}
4 \pi r^2 \vec{E}_- = \frac{4}{3} \frac{\pi r^3}{\epsilon_0} \rho_-
\end{equation}
allora si ricava
\begin{equation}
\vec{E}_- = \hat{r} \frac{r}{3 \epsilon_0} \rho_-
\end{equation}
l'equilibrio si raggiunge quando i due campi si bilanciano
\begin{equation}
\vec{E}_{loc} + \vec{E}_- = 0
\end{equation}
quando
\begin{equation}
\vec{P}_0 = Z e \vec{x} = 4 \pi \epsilon_0 R^3 \vec{E}_{loc}
\end{equation}

$n$ \`e il numero di particelle per per unit\`a di volume
\begin{equation}
n = \frac{N}{V}
\end{equation}
allora il momento di dipolo
\begin{equation}
vec{P} = n \vec{p}_a = n 4 \pi R^3 \epsilon_0 \vec{E}_{loc} = 
n \alpha_e \epsilon_0 \vec{E}_{loc}
\end{equation}
dove
\begin{equation}
\alpha_e = n 4 \pi R^3
\end{equation}
nel caso del gas si ha $\vec{E}_{loc} \approx \vec{E}$ e allora si ha
\begin{equation}
\vec{P} = n \alpha_e \epsilon_0 \vec{E} = \chi \epsilon_0 \vec{E}
\end{equation}
dove
\begin{equation}
\chi = n \alpha_e = n 4 \pi R^3
\end{equation}

non so perch\`e ma si trova che
\begin{equation}
n = \frac{\rho N_A}{m N_A} = \frac{N_A \rho}{M}
\end{equation}

ho perso qualche formula...

la sciuscettivit\`a per un gas vale
\begin{equation}
\chi = \frac{n P^2}{3 \epsilon_0 k_B T}
\end{equation}

?????
\begin{equation}
\chi_{tot} = \chi_e + \chi_d = n \left[4 \pi R^3 + \frac{P_0^2}{3
\epsilon_0 k_B T} \right]
= n \left[ \alpha_e + \alpha_d \right]
\end{equation}

adesso vediamo il caso di un liquido in cui $\vec{E}_{log} = \vec{E}$
non \`e pi\`u una buona approssimazione.
Se abbiamo una polarizzazione uniforme del mezzo si ha che
\begin{equation}
\vec{E}_{loc}= \vec{E}_c = \vec{E} + \frac{\vec{P}}{3 \epsilon_0}
\end{equation}
dove
\begin{equation}
\vec{P} = n \alpha \vec{E}_{loc}= n \alpha \left[ \vec{E} +
\frac{\vec{P}}{3 \epsilon_0} \right]
\end{equation}
eplicitando $\vec{P}$
\begin{equation}
\vec{P}= \frac{ n \alpha}{1 -\frac{n \alpha}{3}} \epsilon_0 \vec{E} =
 \chi \epsilon_0 \vec{E}
\end{equation}
sviluppando in serie $\chi$
\begin{equation}
\chi = \frac{ n \alpha}{1 -\frac{n \alpha}{3}} =_{n \alpha << 1} n
 \alpha \left( 1 + \frac{n \alpha}{3} + \left( \frac{n \alpha}{3}
\right)^2  + \ldots \right)
\end{equation}
e si ricava la \emph{Equazione di Clausius-Massetti}
\begin{equation}
\vec{E}_c = \vec{E} \left( 1 + \frac{\chi}{3} \right) = \equiv
 \vec{E}_{loc}
\end{equation}

allora il $\chi$ del liquido risulta
\begin{equation}
\chi_l = \frac{\alpha_l n_l}{1 -\frac{\alpha_l n_l}{3}}
\end{equation}
e sfruttando il fatto che $n_l \alpha_l = \frac{n_l}{n_g} n_g \alpha_g$
riscrivo la equazione come?????

mah!

una conclusione dall'equazione di clausius-..
\begin{equation}
\frac{1}{\rho} \frac{\kappa -1}{\kappa + 2} = \frac{\alpha N_A}{3 M}
\end{equation}
\`e la parte sinistra \`e indipendente se \`e alla fase gassosa rispetto
a quella liquida.

{\bf \`e spaventoso by Roberta}

\subsection{Energia elettrostatica nei dielettrici}

Il potenziale vale
\begin{equation}
V(q) = \frac{q}{C}
\end{equation}

se faccio lavoro
\begin{equation}
dW = V(q) \, dq
\end{equation}
allora il lavoro totale vale
\begin{equation}
U_e = \int_0^q V'(q) \, dq'
\end{equation}

non mi ricordo in quale caso...
\begin{equation}
U_e = \int_0^q \frac{q'}{C} \, dq' = \frac{1}{2} C V^2
\end{equation}
e nel caso del condensatore piano
\begin{equation}
C = \frac{\epsilon_0 \Sigma}{h}
\end{equation}
che comporta che
\begin{equation}
U_e = \frac{\Sigma^2 \sigma^2 h}{2 \Sigma \epsilon} = \Sigma h
 \frac{\sigma^2}{2 \epsilon}
\end{equation}
allora
\begin{equation}
u_e= \frac{\sigma^2}{2 \epsilon} = \frac{1}{2} \epsilon E^2
\end{equation}
con
\begin{equation}
E = \frac{\sigma}{\epsilon} = \frac{E_0}{\kappa}
\end{equation}
e una versione pi\`u corretta, ma non del tutto
\begin{equation}
u_e(\vec{r}) = \frac{1}{2} \epsilon(\vec{r}) E^2(\vec{r})= \frac{1}{2}
 \vec{E} \cdot \vec{D}
\end{equation}
con
\begin{equation}
\vec{D} = \epsilon \vec{E}
\end{equation}

\section{Appunti 30 maggio}


\section{Esercizi}
\subsubsection{Esempio 5.8}
Il campo elettrico in condensatore piano riempito in parte
\begin{equation}
E_1 = \frac{\sigma_1}{\epsilon_0}
\end{equation}
e
\begin{equation}
E_2 = \frac{\sigma_2 - \sigma_p}{\epsilon_0}
\end{equation}
e i due $E_1$ ed $E_2$ devono essere eguali si ha
\begin{equation}
\frac{\sigma_2}{\kappa} = \sigma_1
\end{equation}

Nella parte 1 non c\`e dielettrico
\begin{equation}
\vec{D}_1 = \epsilon_0 \vec{E}_1
\end{equation}
mentre nella parte 2 \`e presente il dielettrico
\begin{equation}
\vec{D}_2 = \epsilon_0 \vec{E}_2 + \vec{P}_2= \epsilon_0 \kappa
 \vec{E}_2 = \epsilon_0 \kappa \frac{\sigma_2}{\kappa \epsilon_0} =
 \sigma_2
\end{equation}

manca la relazione che lega le sigma in funzione della carica totale
\begin{equation}
q = x \, d \, \sigma_2 + (d -x) d \, \sigma_1 = d \, \sigma_1 [\kappa \,
 x + d - x] = \sigma_1 \, d ((\kappa -1) x + d)
\end{equation}
esplicitando $\sigma_1$ e $\sigma_2$
\begin{equation}
\sigma_1 = \frac{q}{d \left[ (\kappa -1) x +d \right]}
\end{equation}

\begin{equation}
\sigma_2 = \frac{\kappa \, q}{d \left[ (\kappa -1) x +d \right]}
\end{equation}
allora da ref e ref
\begin{equation}
\sigma_P = \frac{(\kappa -1) q}{d \left[ (\kappa -1) x +d \right]}
\end{equation}
e i campi elettrici
\begin{equation}
E_1 = E_2 = E = \frac{\sigma_1}{\epsilon_0}
\end{equation}
e la capacit\`a vale
\begin{equation}
 C (x) = \frac{q}{V(x)} = \frac{ d \left[ (\kappa -1) x +d \right]}{h}
\end{equation}
che \`e la stessa cosa di un condensatore in cui
\begin{equation}
=> \kappa \frac{dx}{h} \epsilon_0 + \frac{d(d-x)}{h} \epsilon_0
\end{equation}
che \`e come se ci fossero due condensatori in parallelo, uno con il
dielettrico e uno senza. L'energia elettrostatica vale
\begin{equation}
U_e = \frac{1}{2} \frac{q^2}{C} = \frac{q^2 \, h}{2 \epsilon_0}
 \frac{1}{d \left[ (\kappa -1) x +d \right]}
\end{equation}

\subsubsection{Esempio 5.8}
Chiede di sapere quanto vale la forza che ``risucchia'' il dielettrico
(q costante).

Si vede che
\begin{equation}
U_e (d + dx) - U_e(x) = - F \, dx
\end{equation}
da cui
\begin{equation}
F = \frac{\partial U_e}{\partial x} = \frac{1}{2} (\kappa -1 )
 \epsilon_0 \, h \, d \, E^2(x)
\end{equation}
GRAFICO DELLA FORZA

nel caso della Capacit\`a costante
\begin{equation}
d U_e(x) = \frac{1}{2} V^2 d C(x)
\end{equation}
il lavoro non pu\`o essere dato da questo perch\'e deve contrivbuire
anche una parte del generatore per mantenere la carica costante. Il
generatore compie lavoro di
\begin{equation}
d W_{gen} = V \, dq = V^2 dC
\end{equation}
ci saranno due contributi per la variazione dell'energia
\begin{equation}
(dW)_F = F \, dx = \frac{V^2 \, dC}{2}
\end{equation}
e la forza \`e data da
\begin{equation}
F = \frac{V^2}{2} \frac{dC}{dx} = \left( \frac{d U_e}{dx} \right)_V
\end{equation}
a $V$ costante.

In maniera alternativa: se il generatore fa il lavoro ref() significa
\begin{equation}
d U_{gen}= - dW = - V \, dq
\end{equation}
e significa che l'energia totale \`e data da
\begin{equation}
dU_{tot} = dU_e + dU_{gen} = dU_e - V^2 \, dC = - \frac{V^2 \, dC}{2}
\end{equation}
o anche che
\begin{equation}
\left( F \right)_V = - \frac{\partial U_{tot}}{\partial x} =
 \frac{V^2}{2} \frac{dC}{dx}
\end{equation}
ed \`e identica a caso
\begin{equation}
\left( F \right)_q = \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} \frac{dC}{dx} =
 \frac{1}{2} V^2 \frac{dC}{dx} = - \left( \frac{\partial U_{e}}{\partial
x} \right)_q
\end{equation}
anche se sembrano diversi ma le formule ref e ref sono eguali

dove \`e un risultato generale.


\subsubsection{Esempio 5.11}

Vedi libro
\begin{equation}
\alpha_d = \frac{P_0^2}{3 \epsilon_0 \, k_B \, T}
\end{equation}


\begin{equation}
n \alpha_e = 0.25 \, 1-^{-3}
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{n \, P_)^2}{3 \epsilon_0 \, k_B \, T} = 1.47
\end{equation}

\begin{equation}
n = \frac{N}{V} = \frac{P}{k_B \, T} = 1.38 \, 10^{25} \ m^{-3}
\end{equation}

\begin{equation}
P_0 = 6.25 \, 10^{-30} \ C \, m
\end{equation}

\begin{equation}
P = \epsilon_0 (\kappa -1 ) E= 3.54 \, 10^{-8} \ \frac{C}{m^2}
\end{equation}

con $E = + \infty$ i dipoli sono orientati allo stesso modo
\begin{equation}
P_{E=+\infty} = n \, P_0 = 8.63 \, 10^{-5} \, \frac{C}{m^2}
\end{equation}

e confrontando
\begin{equation}
P_{E=+\infty} = 2440 \, P
\end{equation}
